Selesaikan x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}-7x-30 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-10 b=3$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-30. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-10 b=3$$

Tulis semula x^{2}-7x-30 sebagai \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-10=0 dan x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -7 dengan b dan -30 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Kuasa dua -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Tambahkan 49 pada 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Nombor bertentangan -7 ialah 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±13}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 7 pada 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Bahagikan 20 dengan 2.

$$x=10$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{7±13}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Bahagikan -6 dengan 2.

$$x=-3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=10 x=-3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Menolak -30 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Tolak -30 daripada 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Bahagikan -7 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{7}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Tambahkan 30 pada \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10 x=-3$$