Selesaikan x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}-3x-180 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-15 b=12$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-15=0 dan x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-180. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -3.

$$a=-15 b=12$$

Tulis semula x^{2}-3x-180 sebagai \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 12 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-15=0 dan x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -3 dengan b dan -180 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Kuasa dua -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Tambahkan 9 pada 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Nombor bertentangan -3 ialah 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±27}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 3 pada 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Bahagikan 30 dengan 2.

$$x=15$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{3±27}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 27 daripada 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Bahagikan -24 dengan 2.

$$x=-12$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=15 x=-12$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Tambahkan 180 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Menolak -180 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Tolak -180 daripada 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Tambahkan 180 pada \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=15 x=-12$$