Selesaikan x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -2 untuk b dan -5 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\left(\sqrt{6}+1\right) dan x-\left(1-\sqrt{6}\right) perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\left(\sqrt{6}+1\right) adalah positif dan x-\left(1-\sqrt{6}\right) adalah negatif.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\left(1-\sqrt{6}\right) adalah positif dan x-\left(\sqrt{6}+1\right) adalah negatif.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$