Selesaikan x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=6$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}-13x+42 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-13 ab=42$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -13.

$$a=-7 b=-6$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx+42. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -13.

$$a=-7 b=-6$$

Tulis semula x^{2}-13x+42 sebagai \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan -6 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -13 dengan b dan 42 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kuasa dua -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Darabkan -4 kali 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Tambahkan 169 pada -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Nombor bertentangan -13 ialah 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±1}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 13 pada 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Bahagikan 14 dengan 2.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±1}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Bahagikan 12 dengan 2.

$$x=6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=7 x=6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Tolak 42 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Menolak 42 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Bahagikan -13 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{13}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Tambahkan -42 pada \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7 x=6$$