Selesaikan x^2+5x=84

$$x ^ { 2 } + 5 x = 84$$

Selesaikan untuk x

$$x=-12$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Tolak 84 daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+5x-84 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=-84$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-7 b=12$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 84 daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-84. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=1\left(-84\right)=-84$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-7 b=12$$

Tulis semula x^{2}+5x-84 sebagai \left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 12 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-7\right)+12\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+5x=84$$

Tolak 84 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+5x-84=84-84$$

Menolak 84 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 5 dengan b dan -84 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-84\right)}}{2}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-84\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+336}}{2}$$

Tambahkan 25 pada 336.

$$x=\frac{-5±\sqrt{361}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$x=\frac{-5±19}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±19}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 19.

$$x=\frac{14}{2}$$

Bahagikan 14 dengan 2.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±19}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada -5.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Bahagikan -24 dengan 2.

$$x=-12$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=7 x=-12$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x=84$$

Bahagikan 5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=84+\frac{25}{4}$$

Tambahkan 84 pada \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{2}$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7 x=-12$$