Selesaikan x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+34x-71000 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 34.

$$a=-250 b=284$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-250=0 dan x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-71000. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 34.

$$a=-250 b=284$$

Tulis semula x^{2}+34x-71000 sebagai \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 284 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-250 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-250=0 dan x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 34 dengan b dan -71000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Kuasa dua 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Tambahkan 1156 pada 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-34±534}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -34 pada 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Bahagikan 500 dengan 2.

$$x=250$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-34±534}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 534 daripada -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Bahagikan -568 dengan 2.

$$x=-284$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=250 x=-284$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Tambahkan 71000 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Menolak -71000 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Tolak -71000 daripada 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Bahagikan 34 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 17. Kemudian tambahkan kuasa dua 17 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Kuasa dua 17.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Tambahkan 71000 pada 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Faktor x^{2}+34x+289. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Permudahkan.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Tolak 17 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=250 x=-284$$