Selesaikan x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+31x-360 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=31 ab=-360$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 31.

$$a=-9 b=40$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-9=0 dan x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-360. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 31.

$$a=-9 b=40$$

Tulis semula x^{2}+31x-360 sebagai \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 40 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-9=0 dan x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 31 dengan b dan -360 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Kuasa dua 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Tambahkan 961 pada 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-31±49}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -31 pada 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Bahagikan 18 dengan 2.

$$x=9$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-31±49}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 49 daripada -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Bahagikan -80 dengan 2.

$$x=-40$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=9 x=-40$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Tambahkan 360 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Menolak -360 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Tolak -360 daripada 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Bahagikan 31 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{31}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{31}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{31}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Tambahkan 360 pada \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Faktor x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Tolak \frac{31}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9 x=-40$$