Selesaikan x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

Selesaikan untuk x

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Tambahkan 75 pada kedua-dua belah.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+20x+75 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=20 ab=75$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 20.

$$a=5 b=15$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x+5=0 dan x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tambahkan 75 pada kedua-dua belah.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx+75. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 20.

$$a=5 b=15$$

Tulis semula x^{2}+20x+75 sebagai \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 15 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x+5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x+5=0 dan x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+20x=-75$$

Tambahkan 75 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

Menolak -75 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

Tolak -75 daripada 0.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 20 dengan b dan 75 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

Kuasa dua 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Darabkan -4 kali 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Tambahkan 400 pada -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±10}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -20 pada 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Bahagikan -10 dengan 2.

$$x=-5$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±10}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 10 daripada -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Bahagikan -30 dengan 2.

$$x=-15$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-5 x=-15$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=-75$$

Bahagikan 20 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 10. Kemudian tambahkan kuasa dua 10 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

Kuasa dua 10.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Tambahkan -75 pada 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Faktor x^{2}+20x+100. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Permudahkan.

$$x+10=5 x+10=-5$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-5 x=-15$$