Selesaikan x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+16x-512 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=16 ab=-512$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=-16 b=32$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-16=0 dan x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-512. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=-16 b=32$$

Tulis semula x^{2}+16x-512 sebagai \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 32 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-16 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-16=0 dan x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 16 dengan b dan -512 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Kuasa dua 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Tambahkan 256 pada 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±48}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -16 pada 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Bahagikan 32 dengan 2.

$$x=16$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-16±48}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 48 daripada -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Bahagikan -64 dengan 2.

$$x=-32$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=16 x=-32$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Tambahkan 512 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Menolak -512 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Tolak -512 daripada 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Bahagikan 16 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 8. Kemudian tambahkan kuasa dua 8 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Kuasa dua 8.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Tambahkan 512 pada 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Faktor x^{2}+16x+64. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Permudahkan.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=16 x=-32$$