Selesaikan x^2+10x-3000=0

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-60$$

$$x=50$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+10x-3000 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=-3000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-50 b=60$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-50=0 dan x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-3000. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-50 b=60$$

Tulis semula x^{2}+10x-3000 sebagai \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 60 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-50 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-50=0 dan x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 10 dengan b dan -3000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -3000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

Tambahkan 100 pada 12000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 12100.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±110}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 110.

$$x=\frac{100}{2}$$

Bahagikan 100 dengan 2.

$$x=50$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±110}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 110 daripada -10.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Bahagikan -120 dengan 2.

$$x=-60$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=50 x=-60$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Tambahkan 3000 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

Menolak -3000 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

Tolak -3000 daripada 0.

$$x^{2}+10x=3000$$

Bahagikan 10 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 5. Kemudian tambahkan kuasa dua 5 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

Kuasa dua 5.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

Tambahkan 3000 pada 25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Faktor x^{2}+10x+25. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Permudahkan.

$$x+5=55 x+5=-55$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=50 x=-60$$