Selesaikan x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Selesaikan untuk x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Tolak 100 daripada 4 untuk mendapatkan -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-48. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -2.

$$a=-8 b=6$$

Tulis semula x^{2}-2x-48 sebagai \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-8=0 dan x+6=0.

$$x=8 x=-6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Tolak 100 daripada 4 untuk mendapatkan -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -4 dengan b dan -96 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Tambahkan 16 pada 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±28}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Bahagikan 32 dengan 4.

$$x=8$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±28}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 28 daripada 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Bahagikan -24 dengan 4.

$$x=-6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=8 x=-6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Tolak 4 daripada 100 untuk mendapatkan 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Bahagikan -4 dengan 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Bahagikan 96 dengan 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Bahagikan -2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -1. Kemudian tambahkan kuasa dua -1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Tambahkan 48 pada 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Faktor x^{2}-2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Permudahkan.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8 x=-6$$