Selesaikan x^2+(3-x)^2=sqrt{5}

$$x ^ { 2 } + ( 3 - x ) ^ { 2 } = \sqrt { 5 }$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}\approx 1.5+1.063938913i$$

$$x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}\approx 1.5-1.063938913i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3-x\right)^{2}.

$$x^{2}+9-6x+x^{2}=\sqrt{5}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}+9-6x=\sqrt{5}$$

Tolak \sqrt{5} daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}+9-6x-\sqrt{5}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-6x+9-\sqrt{5}=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -6 dengan b dan 9-\sqrt{5} dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 9-\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+8\sqrt{5}-72}}{2\times 2}$$

Tambahkan 36 pada -72+8\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{8\sqrt{5}-36}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua -36+8\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -6 ialah 6.

$$x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 6 pada 2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}.

$$x=\frac{6+2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}$$

Bahagikan 6+2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} dengan 4.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} daripada 6.

$$x=\frac{-2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+6}{4}$$

Bahagikan 6-2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} dengan 4.

$$x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3-x\right)^{2}.

$$x^{2}+9-6x+x^{2}=\sqrt{5}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}+9-6x=\sqrt{5}$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}-6x=\sqrt{5}-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Bahagikan -6 dengan 2.

$$x^{2}-3x=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Bahagikan -3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}+\frac{9}{4}$$

Tambahkan \frac{\sqrt{5}-9}{2} pada \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$