Selesaikan x+2y=7,3x+5y=15

$$x + 2 y = 7,3 x + 5 y = 15$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=7$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+7$$

Gantikan -2y+7 dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y=15.

$$3\left(-2y+7\right)+5y=15$$

Darabkan 3 kali -2y+7.

$$-6y+21+5y=15$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y+21=15$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-2y+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 6+7$$

Darabkan -2 kali 6.

$$x=-12+7$$

Tambahkan 7 pada -12.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 7+2\times 15\\3\times 7-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=7,3x+5y=15$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x+5y=15$$

Permudahkan.

$$3x+6y=21,3x+5y=15$$

Tolak 3x+5y=15 daripada 3x+6y=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+6y-5y=21-15$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-5y=21-15$$

Tambahkan 6y pada -5y.

$$y=21-15$$

Tambahkan 21 pada -15.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 3x+5y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\times 6=15$$

Darabkan 5 kali 6.

$$3x+30=15$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=6$$