Selesaikan x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$9x-2y=12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=12$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+12$$

Gantikan -2y+12 dengan x dalam persamaan lain, 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Darabkan 9 kali -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Tambahkan -18y pada -2y.

$$-20y+108=12$$

Tolak 108 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-20y=-96$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Gantikan \frac{24}{5} dengan y dalam x=-2y+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Darabkan -2 kali \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Tambahkan 12 pada -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$9x-2y=12$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$9x-2y=12$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Untuk menjadikan x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Permudahkan.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Tolak 9x-2y=12 daripada 9x+18y=108 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Tambahkan 9x pada -9x. Seubtan 9x dan -9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y+2y=108-12$$

Tambahkan 18y pada 2y.

$$20y=108-12$$

Tambahkan 108 pada -12.

$$20y=96$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Gantikan \frac{24}{5} dengan y dalam 9x-2y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Darabkan -2 kali \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Tambahkan \frac{48}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=\frac{108}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$