Selesaikan x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Selesaikan untuk x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gabungkan 6x dan 9x untuk mendapatkan 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Gabungkan 15x dan -2x untuk mendapatkan 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Tolak 6x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Tambahkan 7 dan 12 untuk dapatkan 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -6x^{2}+ax+bx+19. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 13.

$$a=19 b=-6$$

Tulis semula -6x^{2}+13x+19 sebagai \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 6x-19 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 6x-19=0 dan -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gabungkan 6x dan 9x untuk mendapatkan 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Gabungkan 15x dan -2x untuk mendapatkan 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Tolak 6x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Tambahkan 7 dan 12 untuk dapatkan 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -6 dengan a, 13 dengan b dan 19 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kuasa dua 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Darabkan -4 kali -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Darabkan 24 kali 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Tambahkan 169 pada 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Darabkan 2 kali -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±25}{-12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -13 pada 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Bahagikan 12 dengan -12.

$$x=-1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-13±25}{-12} apabila ± ialah minus. Tolak 25 daripada -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-38}{-12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gabungkan 6x dan 9x untuk mendapatkan 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Gabungkan 15x dan -2x untuk mendapatkan 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Tambahkan 3 dan 4 untuk dapatkan 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Tolak 6x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Tolak 7 daripada -12 untuk mendapatkan -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Membahagi dengan -6 membuat asal pendaraban dengan -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Bahagikan 13 dengan -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Bahagikan -19 dengan -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Bahagikan -\frac{13}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{13}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{13}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Tambahkan \frac{19}{6} pada \frac{169}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Tambahkan \frac{13}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$