Selesaikan n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan n^{2}-n-210 menggunakan formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-15 b=14$$

Tulis semula ungkapan \left(n+a\right)\left(n+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn-210. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-15 b=14$$

Tulis semula n^{2}-n-210 sebagai \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 14 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n^{2}-n-210=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -1 dengan b dan -210 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Tambahkan 1 pada 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±29}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Bahagikan 30 dengan 2.

$$n=15$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±29}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 29 daripada 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Bahagikan -28 dengan 2.

$$n=-14$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=15 n=-14$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Tambahkan 210 pada kedua-dua belah persamaan.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Menolak -210 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Tolak -210 daripada 0.

$$n^{2}-n=210$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 210 pada \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=15 n=-14$$