Selesaikan n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Selesaikan untuk n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Tolak 240 daripada kedua-dua belah.

$$n^{2}-n-240=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan n^{2}-n-240 menggunakan formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-16 b=15$$

Tulis semula ungkapan \left(n+a\right)\left(n+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-16=0 dan n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 240 daripada kedua-dua belah.

$$n^{2}-n-240=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn-240. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-16 b=15$$

Tulis semula n^{2}-n-240 sebagai \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 15 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-16 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-16=0 dan n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n^{2}-n=240$$

Tolak 240 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Menolak 240 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$n^{2}-n-240=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -1 dengan b dan -240 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Tambahkan 1 pada 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 961.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±31}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Bahagikan 32 dengan 2.

$$n=16$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{1±31}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 31 daripada 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Bahagikan -30 dengan 2.

$$n=-15$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=16 n=-15$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=240$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 240 pada \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=16 n=-15$$