Selesaikan n^2-69n+410=0

$$n ^ { 2 } - 69 n + 410 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n = \frac{\sqrt{3121} + 69}{2} \approx 62.432955447$$

$$n = \frac{69 - \sqrt{3121}}{2} \approx 6.567044553$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n^{2}-69n+410=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -69 dengan b dan 410 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 410}}{2}$$

Kuasa dua -69.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-4\times 410}}{2}$$

Darabkan -4 kali 410.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-1640}}{2}$$

Tambahkan 4761 pada -1640.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{3121}}{2}$$

Nombor bertentangan -69 ialah 69.

$$n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 69 pada \sqrt{3121}.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{3121} daripada 69.

$$n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2} n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-69n+410=0$$

Tolak 410 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n^{2}-69n+410-410=-410$$

Menolak 410 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$n^{2}-69n=-410$$

Bahagikan -69 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{69}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{69}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-69n+\left(-\frac{69}{2}\right)^{2}=-410+\left(-\frac{69}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{69}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-69n+\frac{4761}{4}=-410+\frac{4761}{4}$$

Tambahkan -410 pada \frac{4761}{4}.

$$n^{2}-69n+\frac{4761}{4}=\frac{3121}{4}$$

Faktor n^{2}-69n+\frac{4761}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{69}{2}\right)^{2}=\frac{3121}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{69}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3121}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{69}{2}=\frac{\sqrt{3121}}{2} n-\frac{69}{2}=-\frac{\sqrt{3121}}{2}$$

Tambahkan \frac{69}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2} n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$