Selesaikan n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Selesaikan untuk n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Kira 2009 dikuasakan 2 dan dapatkan 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -4019 untuk b dan 4036081 untuk c dalam formula kuadratik.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Selesaikan persamaan n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Untuk hasil itu menjadi ≤0, salah satu daripada nilai n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} dan n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} perlulah ≥0 dan yang satu lagi perlulah ≤0. Pertimbangkan kes apabila n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 dan n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang n.

$$n\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 dan n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$