Selesaikan n^2-33n+260=0

$$n ^ { 2 } - 33 n + 260 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n=13$$

$$n=20$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan n^{2}-33n+260 menggunakan formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-33 ab=260$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 260.

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -33.

$$a=-20 b=-13$$

Tulis semula ungkapan \left(n+a\right)\left(n+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-20=0 dan n-13=0.

$$n=20 n=13$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn+260. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-33 ab=1\times 260=260$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 260.

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -33.

$$a=-20 b=-13$$

Tulis semula n^{2}-33n+260 sebagai \left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan -13 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-20\right)-13\left(n-20\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-20 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-20=0 dan n-13=0.

$$n=20 n=13$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n^{2}-33n+260=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -33 dengan b dan 260 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 260}}{2}$$

Kuasa dua -33.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 260}}{2}$$

Darabkan -4 kali 260.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-1040}}{2}$$

Tambahkan 1089 pada -1040.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±7}{2}$$

Nombor bertentangan -33 ialah 33.

$$n=\frac{33±7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{33±7}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 33 pada 7.

$$n=\frac{40}{2}$$

Bahagikan 40 dengan 2.

$$n=20$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{33±7}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 33.

$$n=\frac{26}{2}$$

Bahagikan 26 dengan 2.

$$n=13$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=20 n=13$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-33n+260=0$$

Tolak 260 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$n^{2}-33n+260-260=-260$$

Menolak 260 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$n^{2}-33n=-260$$

Bahagikan -33 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{33}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{33}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-33n+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}=-260+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{33}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=-260+\frac{1089}{4}$$

Tambahkan -260 pada \frac{1089}{4}.

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor n^{2}-33n+\frac{1089}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{33}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{33}{2}=-\frac{7}{2}$$

Tambahkan \frac{33}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=20 n=13$$