Selesaikan n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Selesaikan untuk n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan n^{2}-11n-60 menggunakan formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-15 b=4$$

Tulis semula ungkapan \left(n+a\right)\left(n+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai n^{2}+an+bn-60. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-15 b=4$$

Tulis semula n^{2}-11n-60 sebagai \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Faktorkan n dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim n-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan n-15=0 dan n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -11 dengan b dan -60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kuasa dua -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Tambahkan 121 pada 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Nombor bertentangan -11 ialah 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{11±19}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 11 pada 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Bahagikan 30 dengan 2.

$$n=15$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{11±19}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 19 daripada 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Bahagikan -8 dengan 2.

$$n=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=15 n=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Menolak -60 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Tolak -60 daripada 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Bahagikan -11 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Tambahkan 60 pada \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Tambahkan \frac{11}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=15 n=-4$$