Selesaikan k^2-4(8k+36)=0

$$k ^ { 2 } - 4 ( 8 k + 36 ) = 0$$

Selesaikan untuk k

$$k=-4$$

$$k=36$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan k^{2}-32k-144 menggunakan formula k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=-144$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-36 b=4$$

Tulis semula ungkapan \left(k+a\right)\left(k+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan k-36=0 dan k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai k^{2}+ak+bk-144. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=1\left(-144\right)=-144$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-36 b=4$$

Tulis semula k^{2}-32k-144 sebagai \left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right).

$$\left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right)$$

Faktorkan k dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$k\left(k-36\right)+4\left(k-36\right)$$

Faktorkan sebutan lazim k-36 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan k-36=0 dan k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -32 dengan b dan -144 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-144\right)}}{2}$$

Kuasa dua -32.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-144\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -144.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+576}}{2}$$

Tambahkan 1024 pada 576.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1600}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 1600.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±40}{2}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$k=\frac{32±40}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{32±40}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 32 pada 40.

$$k=\frac{72}{2}$$

Bahagikan 72 dengan 2.

$$k=36$$

Sekarang selesaikan persamaan k=\frac{32±40}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 40 daripada 32.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Bahagikan -8 dengan 2.

$$k=-4$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$k=36 k=-4$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Tambahkan 144 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$k^{2}-32k=144$$

Bahagikan -32 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -16. Kemudian tambahkan kuasa dua -16 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$k^{2}-32k+\left(-16\right)^{2}=144+\left(-16\right)^{2}$$

Kuasa dua -16.

$$k^{2}-32k+256=144+256$$

Tambahkan 144 pada 256.

$$k^{2}-32k+256=400$$

Faktor k^{2}-32k+256. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-16\right)^{2}=400$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(k-16\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Permudahkan.

$$k-16=20 k-16=-20$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$k=36 k=-4$$