Selesaikan f(x)=-20x^2+23x-6?

$$f ( x ) = - 20 x ^ { 2 } + 23 x - 6 ?$$

Faktor

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai -20x^{2}+ax+bx-6. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=23 ab=-20\left(-6\right)=120$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 23.

$$a=15 b=8$$

Tulis semula -20x^{2}+23x-6 sebagai \left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right)$$

Faktorkan -5x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$-5x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-3\right)\left(-5x+2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$-20x^{2}+23x-6=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kuasa dua 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Darabkan -4 kali -20.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+80\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Darabkan 80 kali -6.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\left(-20\right)}$$

Tambahkan 529 pada -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\left(-20\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$x=\frac{-23±7}{2\left(-20\right)}$$

Darabkan 2 kali -20.

$$x=\frac{-23±7}{-40}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-23±7}{-40} apabila ± ialah plus. Tambahkan -23 pada 7.

$$x=-\frac{16}{-40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-16}{-40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-23±7}{-40} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada -23.

$$x=-\frac{30}{-40}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{-40} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{2}{5} dengan x_{1} dan \frac{3}{4} dengan x_{2}.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Tolak \frac{2}{5} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Tolak \frac{3}{4} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\times \frac{-4x+3}{-4}$$

Darabkan \frac{-5x+2}{-5} dengan \frac{-4x+3}{-4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{-5\left(-4\right)}$$

Darabkan -5 kali -4.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{20}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 20 dalam -20 dan 20.

$$-20x^{2}+23x-6=-\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)$$

Nilaikan

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$