Selesaikan f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Nilaikan

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Langkah Penyelesaian

Nilaikan penyepaduan terbukti dahulu.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Sejak \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int t^{2}\mathrm{d}t dengan \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Sejak \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int t\mathrm{d}t dengan \frac{t^{2}}{2}. Darabkan -1 kali \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Integral terbukti adalah ungkapan antiderivatif dinilai pada had atas penyepaduan tolak antiderivatif yang dinilai pada had bawah penyepaduan.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Permudahkan.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Bezakan w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$