Selesaikan a-4b=2;5a=3b-7

$$a - 4 b = 2 ; 5 a = 3 b - 7$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-2$$

$$b=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$5a-3b=-7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a-4b=2$$

Tambahkan 4b pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=4b+2$$

Gantikan 4b+2 dengan a dalam persamaan lain, 5a-3b=-7.

$$5\left(4b+2\right)-3b=-7$$

Darabkan 5 kali 4b+2.

$$20b+10-3b=-7$$

Tambahkan 20b pada -3b.

$$17b+10=-7$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$17b=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$b=-1$$

Gantikan -1 dengan b dalam a=4b+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=4\left(-1\right)+2$$

Darabkan 4 kali -1.

$$a=-4+2$$

Tambahkan 2 pada -4.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$5a-3b=-7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{-3-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-4\times 5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\-\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 2+\frac{4}{17}\left(-7\right)\\-\frac{5}{17}\times 2+\frac{1}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-2,b=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$5a-3b=-7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a-4b=2,5a-3b=-7$$

Untuk menjadikan a dan 5a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5a+5\left(-4\right)b=5\times 2,5a-3b=-7$$

Permudahkan.

$$5a-20b=10,5a-3b=-7$$

Tolak 5a-3b=-7 daripada 5a-20b=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5a-5a-20b+3b=10+7$$

Tambahkan 5a pada -5a. Seubtan 5a dan -5a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20b+3b=10+7$$

Tambahkan -20b pada 3b.

$$-17b=10+7$$

Tambahkan 10 pada 7.

$$-17b=17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$b=-1$$

Gantikan -1 dengan b dalam 5a-3b=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$5a-3\left(-1\right)=-7$$

Darabkan -3 kali -1.

$$5a+3=-7$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5a=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=-1$$