Selesaikan a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Selesaikan untuk a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -68 untuk b dan 225 untuk c dalam formula kuadratik.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Selesaikan persamaan a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Untuk hasil itu menjadi ≤0, salah satu daripada nilai a-\left(7\sqrt{19}+34\right) dan a-\left(34-7\sqrt{19}\right) perlulah ≥0 dan yang satu lagi perlulah ≤0. Pertimbangkan kes apabila a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 dan a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang a.

$$a\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 dan a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$