Selesaikan 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Faktor

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 90m^{2}+am+bm-45. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -137.

$$a=-162 b=25$$

Tulis semula 90m^{2}-137m-45 sebagai \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Faktorkan 18m dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5m-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Kuasa dua -137.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Darabkan -4 kali 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Darabkan -360 kali -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Tambahkan 18769 pada 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Ambil punca kuasa dua 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Nombor bertentangan -137 ialah 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Darabkan 2 kali 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{137±187}{180} apabila ± ialah plus. Tambahkan 137 pada 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Kurangkan pecahan \frac{324}{180} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{137±187}{180} apabila ± ialah minus. Tolak 187 daripada 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Kurangkan pecahan \frac{-50}{180} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{9}{5} dengan x_{1} dan -\frac{5}{18} dengan x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Tolak \frac{9}{5} daripada m dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Tambahkan \frac{5}{18} pada m dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Darabkan \frac{5m-9}{5} dengan \frac{18m+5}{18} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Darabkan 5 kali 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 90 dalam 90 dan 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Nilaikan

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$