Selesaikan 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, -12 dengan b dan 2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kuasa dua -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Tambahkan 144 pada -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Bahagikan 12+6\sqrt{2} dengan 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 6\sqrt{2} daripada 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Bahagikan 12-6\sqrt{2} dengan 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Menolak 2 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Bahagikan -\frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Tambahkan -\frac{2}{9} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktor y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$