Selesaikan 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Faktor

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Pertimbangkan 3y^{2}+25y-18. Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 3y^{2}+ay+by-18. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 25.

$$a=-2 b=27$$

Tulis semula 3y^{2}+25y-18 sebagai \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Faktorkan y dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3y-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan yang lengkap.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 75.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Tambahkan 5625 pada 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-75±87}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan -75 pada 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-75±87}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 87 daripada -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Bahagikan -162 dengan 18.

$$y=-9$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{2}{3} dengan x_{1} dan -9 dengan x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Tolak \frac{2}{3} daripada y dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 3 dalam 9 dan 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Nilaikan

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$