Selesaikan 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0.277777778+0.606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0.277777778-0.606039562i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, -5 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kuasa dua -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Tambahkan 25 pada -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua -119.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{119} daripada 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

Menolak 4 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Bahagikan -\frac{5}{9} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{18}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{18} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{18} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Tambahkan -\frac{4}{9} pada \frac{25}{324} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Tambahkan \frac{5}{18} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$