Selesaikan 9x^2-18x-16=0

$$9 x ^ { 2 } - 18 x - 16 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-16. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-18 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -18.

$$a=-24 b=6$$

Tulis semula 9x^{2}-18x-16 sebagai \left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-8 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-8\right)\left(3x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-8=0 dan 3x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, -18 dengan b dan -16 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -16.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+576}}{2\times 9}$$

Tambahkan 324 pada 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 900.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±30}{2\times 9}$$

Nombor bertentangan -18 ialah 18.

$$x=\frac{18±30}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{18±30}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{18±30}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan 18 pada 30.

$$x=\frac{48}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{48}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{18±30}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 30 daripada 18.

$$x=-\frac{12}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}-18x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Menolak -16 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}-18x=-\left(-16\right)$$

Tolak -16 daripada 0.

$$9x^{2}-18x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}-18x}{9}=\frac{16}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{9}\right)x=\frac{16}{9}$$

Bahagikan -18 dengan 9.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{9}$$

Bahagikan -2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -1. Kemudian tambahkan kuasa dua -1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-2x+1=\frac{16}{9}+1$$

Tambahkan \frac{16}{9} pada 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{25}{9}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-1=\frac{5}{3} x-1=-\frac{5}{3}$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$