Selesaikan 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx+49. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 42.

$$a=21 b=21$$

Tulis semula 9x^{2}+42x+49 sebagai \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, 42 dengan b dan 49 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 42.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Tambahkan 1764 pada -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-42}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Tolak 49 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Menolak 49 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{42}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Bahagikan \frac{14}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Tambahkan -\frac{49}{9} pada \frac{49}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Tolak \frac{7}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=-\frac{7}{3}$$