Selesaikan 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx+25. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 30.

$$a=15 b=15$$

Tulis semula 9x^{2}+30x+25 sebagai \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x+5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, 30 dengan b dan 25 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Tambahkan 900 pada -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

Menolak 25 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Bahagikan \frac{10}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Tambahkan -\frac{25}{9} pada \frac{25}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Tolak \frac{5}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan. Penyelesaian adalah sama.

$$x=-\frac{5}{3}$$