Selesaikan 9x^2+12x-32=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 32 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-32. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=12 ab=9\left(-32\right)=-288$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 12.

$$a=-12 b=24$$

Tulis semula 9x^{2}+12x-32 sebagai \left(9x^{2}-12x\right)+\left(24x-32\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(24x-32\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x-4\right)+8\left(3x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-4\right)\left(3x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-4=0 dan 3x+8=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}+12x-32=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, 12 dengan b dan -32 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-32\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+1152}}{2\times 9}$$

Tambahkan 144 pada 1152.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1296}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 1296.

$$x=\frac{-12±36}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{-12±36}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-12±36}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan -12 pada 36.

$$x=\frac{24}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{24}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-12±36}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 36 daripada -12.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-48}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+12x-32=0$$

Tambahkan 32 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}+12x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Menolak -32 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}+12x=-\left(-32\right)$$

Tolak -32 daripada 0.

$$9x^{2}+12x=32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{32}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{32}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{32}{9}$$

Bahagikan \frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{32}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{32+4}{9}$$

Tambahkan \frac{32}{9} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=4$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=4$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{2}{3}=2 x+\frac{2}{3}=-2$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{8}{3}$$