Selesaikan 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tolak 3n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 6n^{2}+an+bn+20. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -23.

$$a=-15 b=-8$$

Tulis semula 6n^{2}-23n+20 sebagai \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Faktorkan 3n dalam kumpulan pertama dan -4 dalam kumpulan kedua.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2n-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2n-5=0 dan 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Tolak 3n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 6 dengan a, -23 dengan b dan 20 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kuasa dua -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Darabkan -4 kali 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Darabkan -24 kali 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Tambahkan 529 pada -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ambil punca kuasa dua 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Nombor bertentangan -23 ialah 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Darabkan 2 kali 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{23±7}{12} apabila ± ialah plus. Tambahkan 23 pada 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{23±7}{12} apabila ± ialah minus. Tolak 7 daripada 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Kurangkan pecahan \frac{16}{12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Tolak 3n^{2} daripada kedua-dua belah.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Membahagi dengan 6 membuat asal pendaraban dengan 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan -\frac{23}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{23}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{23}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{23}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{529}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Permudahkan.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Tambahkan \frac{23}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$