Selesaikan 9(x-2)^2-121=0

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 121 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \approx 5.666666667$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Tolak 121 daripada 36 untuk mendapatkan -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-85. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-36 ab=9\left(-85\right)=-765$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -765.

$$1,-765 3,-255 5,-153 9,-85 15,-51 17,-45$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-765=-764 3-255=-252 5-153=-148 9-85=-76 15-51=-36 17-45=-28$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -36.

$$a=-51 b=15$$

Tulis semula 9x^{2}-36x-85 sebagai \left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right).

$$\left(9x^{2}-51x\right)+\left(15x-85\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x-17\right)+5\left(3x-17\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-17 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-17\right)\left(3x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-17=0 dan 3x+5=0.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Tolak 121 daripada 36 untuk mendapatkan -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, -36 dengan b dan -85 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 9\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-36\left(-85\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -85.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296+3060}}{2\times 9}$$

Tambahkan 1296 pada 3060.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{4356}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 4356.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±66}{2\times 9}$$

Nombor bertentangan -36 ialah 36.

$$x=\frac{36±66}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{36±66}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{36±66}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan 36 pada 66.

$$x=\frac{102}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{102}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{17}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{36±66}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 66 daripada 36.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-121=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-121=0$$

Tolak 121 daripada 36 untuk mendapatkan -85.

$$9x^{2}-36x-85=0$$

Tambahkan 85 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$9x^{2}-36x=85$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}-36x}{9}=\frac{85}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{36}{9}\right)x=\frac{85}{9}$$

Bahagikan -36 dengan 9.

$$x^{2}-4x=\frac{85}{9}$$

Bahagikan -4 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -2. Kemudian tambahkan kuasa dua -2 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{85}{9}+\left(-2\right)^{2}$$

Kuasa dua -2.

$$x^{2}-4x+4=\frac{85}{9}+4$$

Tambahkan \frac{85}{9} pada 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-2=\frac{11}{3} x-2=-\frac{11}{3}$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{17}{3} x=-\frac{5}{3}$$