Selesaikan 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, -12 dengan b dan 10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Tambahkan 144 pada -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

Bahagikan 12+6i\sqrt{6} dengan 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 6i\sqrt{6} daripada 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

Bahagikan 12-6i\sqrt{6} dengan 18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

Menolak 10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Bahagikan -\frac{4}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{2}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

Tambahkan -\frac{10}{9} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$