Selesaikan 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-8. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-4 b=18$$

Tulis semula 9x^{2}+14x-8 sebagai \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 9x-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 9x-4=0 dan x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, 14 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Tambahkan 196 pada 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±22}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan -14 pada 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±22}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 22 daripada -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Bahagikan -36 dengan 18.

$$x=-2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Menolak -8 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Tolak -8 daripada 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Bahagikan \frac{14}{9} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{9}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{9} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{9} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Tambahkan \frac{8}{9} pada \frac{49}{81} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Tolak \frac{7}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$