Selesaikan 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 84 dengan a, 4\sqrt{3} dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Kuasa dua 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Darabkan -4 kali 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Darabkan -336 kali 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Tambahkan 48 pada -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Ambil punca kuasa dua -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Darabkan 2 kali 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4\sqrt{3} pada 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Bahagikan -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} dengan 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} apabila ± ialah minus. Tolak 8i\sqrt{15} daripada -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Bahagikan -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} dengan 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Membahagi dengan 84 membuat asal pendaraban dengan 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Bahagikan 4\sqrt{3} dengan 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Kurangkan pecahan \frac{-3}{84} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Bahagikan \frac{\sqrt{3}}{21} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{\sqrt{3}}{42}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{\sqrt{3}}{42} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Kuasa dua \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Tambahkan -\frac{1}{28} pada \frac{1}{588} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Faktor x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Tolak \frac{\sqrt{3}}{42} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$