Selesaikan 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Faktor

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 81x^{2}+ax+bx+100. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -180.

$$a=-90 b=-90$$

Tulis semula 81x^{2}-180x+100 sebagai \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Faktorkan 9x dalam kumpulan pertama dan -10 dalam kumpulan kedua.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 9x-10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Kuasa Dua Binomial

Trinomial ini mempunyai bentuk kuasa dua trinomial, mungkin didarabkan dengan faktor sepunya. Kuasa dua trinomial boleh difaktorkan dengan mencari punca kuasa dua sebutan pendahulu dan sebutan pengekor.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Cari faktor sepunya terbesar pekali.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Cari punca kuasa dua sebutan pendahulu, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Cari punca kuasa dua sebutan pengekor, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Kuasa dua trinomial ialah kuasa dua binomial iaitu hasil tambah atau beza punca kuasa dua sebutan pendahulu dan pengekor dengan tanda yang ditentukan oleh tanda sebutan tengah kuasa dua trinomial.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kuasa dua -180.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Darabkan -4 kali 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Darabkan -324 kali 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Tambahkan 32400 pada -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Nombor bertentangan -180 ialah 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Darabkan 2 kali 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{10}{9} dengan x_{1} dan \frac{10}{9} dengan x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Tolak \frac{10}{9} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Tolak \frac{10}{9} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Darabkan \frac{9x-10}{9} dengan \frac{9x-10}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Darabkan 9 kali 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 81 dalam 81 dan 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Nilaikan

$$\left(9x-10\right)^{2}$$