Selesaikan 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktor

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 81x^{2}+ax+bx+100. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 180.

$$a=90 b=90$$

Tulis semula 81x^{2}+180x+100 sebagai \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Faktorkan 9x dalam kumpulan pertama dan 10 dalam kumpulan kedua.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 9x+10 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Tuliskan semula sebagai kuasa dua binomial.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Kuasa Dua Binomial

Trinomial ini mempunyai bentuk kuasa dua trinomial, mungkin didarabkan dengan faktor sepunya. Kuasa dua trinomial boleh difaktorkan dengan mencari punca kuasa dua sebutan pendahulu dan sebutan pengekor.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Cari faktor sepunya terbesar pekali.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Cari punca kuasa dua sebutan pendahulu, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Cari punca kuasa dua sebutan pengekor, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Kuasa dua trinomial ialah kuasa dua binomial iaitu hasil tambah atau beza punca kuasa dua sebutan pendahulu dan pengekor dengan tanda yang ditentukan oleh tanda sebutan tengah kuasa dua trinomial.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kuasa dua 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Darabkan -4 kali 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Darabkan -324 kali 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Tambahkan 32400 pada -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Darabkan 2 kali 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{10}{9} dengan x_{1} dan -\frac{10}{9} dengan x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Tambahkan \frac{10}{9} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Tambahkan \frac{10}{9} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Darabkan \frac{9x+10}{9} dengan \frac{9x+10}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Darabkan 9 kali 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 81 dalam 81 dan 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Nilaikan

$$\left(9x+10\right)^{2}$$