Selesaikan 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Selesaikan untuk y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0.75-1.299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0.75+1.299038106i$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -27 dan q membahagikan pekali pelopor 8. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$y=\frac{3}{2}$$

Dengan teorem Faktor, y-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 8y^{3}-27 dengan 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 untuk mendapatkan 4y^{2}+6y+9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, 6 untuk b dan 9 untuk c dalam formula kuadratik.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Selesaikan persamaan 4y^{2}+6y+9=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Selesaikan untuk y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah Penyelesaian

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -27 dan q membahagikan pekali pelopor 8. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$y=\frac{3}{2}$$

Dengan teorem Faktor, y-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 8y^{3}-27 dengan 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 untuk mendapatkan 4y^{2}+6y+9. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, 6 untuk b dan 9 untuk c dalam formula kuadratik.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Oleh kerana punca kuasa dua nombor negatif tidak ditakrifkan dalam medan sebenar, tiada penyelesaian.

$$y\in \emptyset$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$y=\frac{3}{2}$$