Selesaikan 8x^2-22x-21=0

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 8x^{2}+ax+bx-21. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -22.

$$a=-28 b=6$$

Tulis semula 8x^{2}-22x-21 sebagai \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-7=0 dan 4x+3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 8 dengan a, -22 dengan b dan -21 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Kuasa dua -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -32 kali -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

Tambahkan 484 pada 672.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Ambil punca kuasa dua 1156.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

Nombor bertentangan -22 ialah 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

Darabkan 2 kali 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{22±34}{16} apabila ± ialah plus. Tambahkan 22 pada 34.

$$x=\frac{56}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{56}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{22±34}{16} apabila ± ialah minus. Tolak 34 daripada 22.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x^{2}-22x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Menolak -21 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$8x^{2}-22x=-\left(-21\right)$$

Tolak -21 daripada 0.

$$8x^{2}-22x=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$\frac{8x^{2}-22x}{8}=\frac{21}{8}$$

Membahagi dengan 8 membuat asal pendaraban dengan 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{8}\right)x=\frac{21}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-22}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{21}{8}$$

Bahagikan -\frac{11}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{21}{8}+\frac{121}{64}$$

Tambahkan \frac{21}{8} pada \frac{121}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{17}{8}$$

Tambahkan \frac{11}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$