Selesaikan 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2.141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0.641941091$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 8 dengan a, -12 dengan b dan -11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Kuasa dua -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -32 kali -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Tambahkan 144 pada 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Ambil punca kuasa dua 496.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Nombor bertentangan -12 ialah 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Darabkan 2 kali 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} apabila ± ialah plus. Tambahkan 12 pada 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Bahagikan 12+4\sqrt{31} dengan 16.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} apabila ± ialah minus. Tolak 4\sqrt{31} daripada 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Bahagikan 12-4\sqrt{31} dengan 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Menolak -11 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Tolak -11 daripada 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

Membahagi dengan 8 membuat asal pendaraban dengan 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Bahagikan -\frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Tambahkan \frac{11}{8} pada \frac{9}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$