Selesaikan 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 8x^{2}+ax+bx-7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 10.

$$a=-4 b=14$$

Tulis semula 8x^{2}+10x-7 sebagai \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x-1=0 dan 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 8 dengan a, 10 dengan b dan -7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -32 kali -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Tambahkan 100 pada 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Darabkan 2 kali 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±18}{16} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±18}{16} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{-28}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Menolak -7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Tolak -7 daripada 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Membahagi dengan 8 membuat asal pendaraban dengan 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Bahagikan \frac{5}{4} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{8}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{8} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{8} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Tambahkan \frac{7}{8} pada \frac{25}{64} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Tolak \frac{5}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$