Selesaikan 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Faktor

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 8x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -14.

$$a=-20 b=6$$

Tulis semula 8x^{2}-14x-15 sebagai \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Kuasa dua -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Darabkan -32 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Tambahkan 196 pada 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ambil punca kuasa dua 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Darabkan 2 kali 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±26}{16} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{40}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{14±26}{16} apabila ± ialah minus. Tolak 26 daripada 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{-12}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{5}{2} dengan x_{1} dan -\frac{3}{4} dengan x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Tolak \frac{5}{2} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Darabkan \frac{2x-5}{2} dengan \frac{4x+3}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 8 dalam 8 dan 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Nilaikan

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$