Selesaikan 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Faktor

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai 77r^{2}+ar+br-18. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 45.

$$a=-21 b=66$$

Tulis semula 77r^{2}+45r-18 sebagai \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Faktorkan 7r dalam kumpulan pertama dan 6 dalam kumpulan kedua.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 11r-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Kuasa dua 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Darabkan -4 kali 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Darabkan -308 kali -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Tambahkan 2025 pada 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Ambil punca kuasa dua 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Darabkan 2 kali 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{-45±87}{154} apabila ± ialah plus. Tambahkan -45 pada 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Kurangkan pecahan \frac{42}{154} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{-45±87}{154} apabila ± ialah minus. Tolak 87 daripada -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Kurangkan pecahan \frac{-132}{154} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan \frac{3}{11} dengan x_{1} dan -\frac{6}{7} dengan x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Tolak \frac{3}{11} daripada r dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Tambahkan \frac{6}{7} pada r dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Darabkan \frac{11r-3}{11} dengan \frac{7r+6}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Darabkan 11 kali 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 77 dalam 77 dan 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Nilaikan

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$