Selesaikan 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 15x^{2}+ax+bx-2. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 7.

$$a=-3 b=10$$

Tulis semula 15x^{2}+7x-2 sebagai \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x-1=0 dan 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 75 dengan a, 35 dengan b dan -10 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kuasa dua 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Darabkan -4 kali 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Darabkan -300 kali -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Tambahkan 1225 pada 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Ambil punca kuasa dua 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Darabkan 2 kali 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-35±65}{150} apabila ± ialah plus. Tambahkan -35 pada 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Kurangkan pecahan \frac{30}{150} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-35±65}{150} apabila ± ialah minus. Tolak 65 daripada -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Kurangkan pecahan \frac{-100}{150} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Menolak -10 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Tolak -10 daripada 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Membahagi dengan 75 membuat asal pendaraban dengan 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Kurangkan pecahan \frac{35}{75} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Kurangkan pecahan \frac{10}{75} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Bahagikan \frac{7}{15} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{30}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{30} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{30} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Tambahkan \frac{2}{15} pada \frac{49}{900} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Tolak \frac{7}{30} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$