Selesaikan 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x-15y-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x-15y=2$$

Tambahkan 15y pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=15y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Gantikan \frac{15y+2}{7} dengan x dalam persamaan lain, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Tambahkan \frac{15y}{7} pada 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Tolak \frac{2}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{19}{29}$$

Gantikan \frac{19}{29} dengan y dalam x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Darabkan \frac{15}{7} dengan \frac{19}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Tambahkan \frac{2}{7} pada \frac{285}{203} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Untuk menjadikan 7x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Permudahkan.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Tolak 7x+14y=21 daripada 7x-15y-2=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-14y-2=-21$$

Tambahkan -15y pada -14y.

$$-29y-2=-21$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-29y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Gantikan \frac{19}{29} dengan y dalam x+2y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Darabkan 2 kali \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Tolak \frac{38}{29} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$