Selesaikan 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 7x^{2}+ax+bx-15. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-35 b=3$$

Tulis semula 7x^{2}-32x-15 sebagai \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktorkan 7x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 7 dengan a, -32 dengan b dan -15 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Kuasa dua -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Darabkan -4 kali 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Darabkan -28 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Tambahkan 1024 pada 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Ambil punca kuasa dua 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Nombor bertentangan -32 ialah 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Darabkan 2 kali 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±38}{14} apabila ± ialah plus. Tambahkan 32 pada 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Bahagikan 70 dengan 14.

$$x=5$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{32±38}{14} apabila ± ialah minus. Tolak 38 daripada 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{14} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Menolak -15 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Tolak -15 daripada 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Membahagi dengan 7 membuat asal pendaraban dengan 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Bahagikan -\frac{32}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{16}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{16}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{16}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Tambahkan \frac{15}{7} pada \frac{256}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Tambahkan \frac{16}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$